Recul-mécanique: comment ça tourne une courbe qui fluctue? Théorisation réussie

Vous avez une belle fonction, une belle courbe, mais tout à coup, elle change de sens, et vous en perdez le sens algébrique, rien ne fonctionne plus. Pourtant, ça allait bien.

Ça fait penser au repliement de René Thom, en théorie des catastrophes. Tout coule bien, tourne à merveille, mais tout à coup, un repliement survient, un u-turn incompréhensible, et c'est la catastrophe. Un vide algébrique, rien ne peut plus s'expliquer. Ce n'était pas prévu.

La recul-mécanique, c'est un peu celà. C'est la théorie de la variation des courbes, dans ma géométrie. À mesure que je l'approfondie, je suis plus en mesure de résoudre des problèmes fondamentaux. La recul-mécanique en fait partie. Avec plus d'habileté et de connaissances, j'ai réussi à la résoudre et la théoriser adéquatement, comment elle tourne, comment elle fonctionne, quelle est son algèbre, etc..

J'en avais déjà un peu parler dans un article, au moins, de ma Page Facebook sur la Mécanique hyperbolique algébrique:

Une mécanique de l'autre cycle


C'est une question difficile, j'avais fait quelques suppositions, mais je n'étais pas encore très sûr. Maintenant, j'ai réussi à la comprendre parfaitement. C'est un début, mais quand j'en aurai besoin, je pourrai l'expérimenter. En attendant, elle est bien théorisée.

J'ai fait un petit schéma pour montrer un peu ce que c'est, avec les vraies grandeurs comme modèle, ainsi tout est bien calibré, balancé, et c'est plus facile à visualiser et à comprendre ainsi, même si ce n'est pas facile, évidemment.

Schéma de la recul-mécanique

Recul-mécanique:

Deux solutions possibles,

schéma succinct de leur algèbre de rotation

Ça paraît un peu compliqué, mais avec 3 angles, on fait un tableau, qui en comprend 6. C'est un genre de symétrie qui fait fonctionner les affaires, les êtres vivants, les lois physiques, etc.. À partir de ces 3 angles, il est facile de trouver les autres, leur côté symétrique, c'est pour ça que je n'en met que 3, ce qui est suffisant. Mais il faut garder à l'esprit que c'est la moitié du tableau, sinon, on peut penser que ça ne fonctionnera pas bien, que ça va boîtier, que c'est impossible, etc..

Et puis, les tableaux, il y en a des centaines, je n'en ai encore publié aucun. Je suis encore à les construire, en apprenant comment ils fonctionnent. J'en ai déjà une bonne idée. Un schéma comme celui-ci est un peu compliqué, mais s'il y avait un tableau pour montrer le fonctionnement, ce serait plus facile à comprendre. Ça viendra, quand j'en aurai un peu l'habileté, sur les logiciels.

Dans le tableau original, qui est une mécanique hyperbolique, en tangente, tous les angles sont au 1er quadrant.
Dans les 2 solutions, le g propre (angle central secondaire) et l'asymptote propre sont au 3e quadrant, la différence entre les deux étant que le t propre (angle central principal) est aussi au 3e quadrant dans la 2e solution.
Les 3 tableaux sont synchrones, donc le passage d'un quadrant à l'autre n'est pas évolutif, comme s'il ne se passait que dans un seul tableau. C'est pourquoi il y a 3 tableaux, car chacun a son algèbre propre.

L'algèbre de la mécanique originale ne permettant pas de voir ces solutions, il fallait introduire trois éléments algébriques nouveaux:

- V et J
Un sinus étant le produit tangente par cosinus, I, le sinus au carré de l'asymptote, en tant qu'ordre, est subdivisible en V et J, respectivement. Ceci parce qu'un ordre décroissant était nécessaire, ce qui est J, ici, le cosinus au carré de l'asymptote.
- k
Une variable dépendante prend différentes valeurs lorsqu'elle est désignée, alors on peut les généraliser par une qualité k, comme dans "ky" en géométrie cartésienne. D'où kI, kV et kJ dans notre cas, ici, avec "ak", pour dire que l'asymptote est désignée, avec toute sa trigonométrie, en regard de tg, la tangente de t, comme variable indépendante de I.
- u
Le système trigonométrique étant construit pour des angles croissants en rotation anti-horaire, un code, ou qualité, devrait indiquer leur décroissance en rotation horaire lorsque besoin est, ce qui est notre cas, ici, où kI^1/2*tg et kV^1/2*tg peuvent décroître. J'utilise donc le code "u" pour l'indiquer, tant goniométriquement que trigonométriquement, avec une signification plus générale, pour désigner l'algèbre de l'anti-mécanique, celle qui tourne horaire, à partir du 3e quadrant anti-horaire. Les deux systèmes sont donc combinés lorsque les uns sont utilisés avec les autres, i.e. mélangés, ce qui est le cas des solutions de la recul-mécanique, ici, car ce sont des mécaniques qui tournent horaire plutôt qu'anti-horaire, comme la mécanique hyperbolique originale le fait.

Les solutions sont donc aussi des mécaniques hyperboliques en tangente, mais propres, de même nature que celle originale, sauf qu'elles tournent horaire. Les éléments algébriques nouveaux rajoutés servent à bien les algébrétiser, afin de les faire tourner normalement, de la même manière que l'original, sans aucun blocage, nulle part. Ce sont de vraies mécaniques, tout autant, avec leurs tableaux propres.

Cette algèbre de la recul-mécanique s'applique partout, la mécanique hyperbolique en tangente n'étant qu'un exemple, utilisé pour la démontrer. En sinus, une mécanique circulaire, on aura des solutions semblables, propres, le principe restant le même. Et ainsi de suite pour toutes les autres trigonométries, qui découlent toutes de la tangente et du sinus, comme mécaniques hyperbolique ou circulaire, respectivement.

Je donne l'essentiel, donc, l'algèbre principale, pas toute au complet car il n'y a pas assez de place sur le petit dessin. Mais c'est un aperçu, j'en donnerai des détails au besoin. C'est très vaste, c'est un sujet très intéressant.

Alors, donc, ce que c'est, c'est que, quand des courbes changent de sens, font du va et vient, se comportent comme des manivelles, fluctuent, en somme, c'est quoi l'algèbre de tout ça, en géométrie strictement réelle, sans aucun nombre négatif (relatif) ou imaginaire? Eh bien, c'est la théorie de celà, qu'est la recul-mécanique, un nom bien imagé, mnémonique, pour s'en rappeler.

Le phénomène qui se passe dans les fonctions, c'est que, quand on a un produit, ce n'est pas comme avoir seulement un terme. Ça peut fluctuer, monter et descendre, pas toujours, mais c'est dans leur nature de le faire. Alors, c'est bien de comprendre ce qui se passe avec ça, ça existe.

Lorsqu'une fonction tourne de façon continue, sans soubresauts ou retour en arrière, un seul tableau est nécessaire, dans ma géométrie. Un ensemble de tableaux, en fait, mais tous en continu, pour la même fonction.

Bon. Maintenant, pour les fonctions qui fluctuent, montent et descendent, c'est là que la recul-mécanique entre en jeu. Du tableau d'une fonction, on passe à celui d'une autre, et même d'une troisième, comme je le montre sur mon schéma, Mais ça s'arrête là, il n'y en a pas d'autre. On joue donc sur trois tableaux plutôt que sur un seul, comme dans les fonctions qui ne fluctuent pas.

- On commence avec un tableau
- puis la fonction recule, on passe alors à l'autre tableau
- et celui-ci peut encore fluctuer dans sa propre nature, on passe alors au dernier tableau.

Maintenant, celui-ci ne peut que faire repasser au 2e, et celui-là au 1er, et ainsi de suite, 1,2,3,2,3,2,1, ...3. Il peut aussi y avoir des sauts du 1er au 3e, car ils ne sont pas nécessairement consécutifs. Alors, bien qu'il ne s'agisse que d'une seule fonction, c'est la fluctuation qui fait qu'on doive utiliser ces 3 systèmes de tableaux.

Le tableau, c'est un peu comme un tableau d'intervalles, à part le fait que c'est plus complet. Il y a tout dans le tableau: les points de rencontre, les intervalles, l'algèbre de connexion avec d'autres courbes, etc.. Ses possibilités sont sans limite. Et pourtant il n'y a que 6 angles dedans.

Je pense que certains peuvent comprendre mon petit dessin, d'autres pas du tout, mais c'est pour donner au moins une idée, un aperçu de ce que c'est, pour le moment, alors que je ne fais qu'avoir terminé la théorisation de l'essentiel sur papier. C'est un petit exercice en même temps, alors que j'en ai une bonne visualisation. Ce qui peut profiter aux autres. J'y reviendrai en temps et lieu

La Mécanique hyperbolique algébrique est une géométrie complète

Ma théorisation de la mécanique hyperbolique algébrique est maintenant très avancée, avec la découverte du fonctionnement de la partie tête-bêche, une composante très compliquée qui en occupe les quatre-cinquièmes (4/5). Je savais qu'elle existait, mais je pensais que c'était tout simplement la même chose, en inverse, ce qui n'était pas le cas. C'est une partie avec les mêmes variables, dépendante et indépendante, mais qui couvre tous les trous de l'autre, celle par défaut,  que je pensais unique.

J'ai donc maintenant une vue d'ensemble, complète, de la mécanique hyperbolique algébrique, que je peux présenter sous forme de schéma: 

Des explications succinctes sont incluses pour avoir une idée la plus simple possible, sur un sujet des plus complexes, d'un coup d'oeil.

Je n'en rajouterai pas plus pour le moment, mais quand il y aura un ajout théorique plus précis ou détaillé, ce sera quelque part là-dedans que ça se situera.

*******************************************
MISE-À-JOUR. 14 février 2015

Correction

Le tête-bêche est de la même ampleur que la mécanique de base, plutôt que 4 fois plus grand, comme indiqué dans le texte et le dessin. C'est donc la moitié de ma géométrie, et non plus les 4/5.

Voici le dessin corrigé, en note rouge, plutôt que de changer les proportions originales fautives, inutilement:
 

Rajout

Par ailleurs,  le tête-bêche est aussi relié à la variation des courbes.

Quand l'ordre est désigné,
- i.e. quand V est défini comme une fonction du sinus, par exemple,
et que l'angle central secondaire,
- dont le guide est V½ sin,
décroît plutôt que de croître, comme il se devrait,
- V = f(sin) étant croissant, et [f(sin) * sin] aussi, normalement,
alors c'est l'algèbre du tête-bêche qui s'applique.

C'est une autre manière de passer au tête-bêche, et vice-versa. Les deux mécaniques se complètent mutuellement, sans aucune discontinuité des courbes: seules les algèbres de l'un et l'autre s'interchangent, au besoin, lorsque requis. C'est automatique. Quand l'un plonge dans l'autre, avec sa propre algèbre, son système, ses angles centraux, fonctions et paramètres, suivent, mais pas dans les mêmes forme, position et rôle, qui sont désormais ceux du système d'arrivée. Donc, même si le code algébrique d'origine demeure le même, par commodité, c'est l'algèbre de ce dernier qui est appliquée. Une qualité, un code quelconque, peut être utilisé pour indiquer ce changement de mécanique, dans le code algébrique d'origine, pour ne pas se mêler ou s'égarer.

*******************
MISE-À-JOUR, 3 mai 2015

J'avais confondu le tête-bêche avec la recul-mécanique, dont je n'ai parlé que dans ma page facebook spécialisée, cependant, et qui se trouve reproduite dans ma section (onglet) Journal, ici. Mais ce n'est pas grave, l'idée reste la même. Ce n'est qu'après des développements très importants que je comprend mieux de quoi je parle. Le tête-bêche et la recul-mécanique ont été mieux cernés, définis, avec le temps.

Leur relation avec l'ensemble de ma géométrie n'est pas la même:

- La recul-mécanique est une géométrie horaire, elle va dans l'autre sens que la mécanique par défaut, anti-horaire, mais avec la même trigonométrie que cette dernière, à part le fait que g, l'angle central secondaire, tourne en sens inverse: parce que c'est son sinus, V^1/2 s, qui décroît plutôt que de croître, comme il le fait habituellement, quand V est fonction de s. La recul-mécanique est exactement de la même grandeur que la mécanique, c'est donc la moitié de ma géométrie, comme tel. Le dessin corrigé (avec du rouge) est donc bon, seul le terme "tête-bêche" doit être remplacé par "recul-mécanique". Pas nécessaire de refaire un autre dessin ici, car ce n'est qu'un petit détail technique, qui sera corrigé à l'avenir.

- Le tête-bêche, lui, est un permuté avec interchangement des variables. Permuté signifie que les rôles sont interchangés, V^1/2, le radical de l'ordre, devient sinus de l'angle central permuté, et vice-versa pour s, qui devient le radical de l'ordre permuté. Jusque-là, V est toujours fonction de s, ce n'est qu'une permutation. Mais quand c'est s qui devient fonction de V, en même temps, c'est là ce que j'appelle le tête-bêche, le vrai, pas celui que j'avais pris pour la recul-mécanique, précédemment. C'est une opération connue, en géométrie, qu'on appelle, soit inverse, soit réciproque, dépendant des auteurs, en se mêlant un peu dans les termes, eux aussi, quelquefois. C'est pour ça que j'ai choisi le terme tête-bêche, pour ma part, qui réfère, en même temps, à un diagramme précis, dans ma géométrie: c'est une géométrie de l'asymptote, mais avec la trigonométrie de l'angle central. Inversement, donc, pour ne pas se mêler, si je me partais d'une géométrie asymptotique (celle de V^1/2 comme tangente) et que je faisais son tête-bêche, ce serait une géométrie cartésienne (celle de la trigonométrie habituelle), mais avec la trigonométrie de l'asymptote. Le tête-bêche est donc une opération interne qui s'applique autant à recul-mécanique qu'à la mécanique comme tel, parce que cette première a autant une asymptote qui lui est propre, et le même genre de théorie des graphes s'applique.

Maintenant, il y a d'autres composantes reliées à ma géométrie, dans le détail de la mécanique et de la recul-mécanique, mais ce doit être traité ailleurs. Ce sera pour une autre occasion. Ici, j'ai fait les précisions qui convenaient, pour le moment.

**************
MISE-À-JOUR, 21 mai 2015

Correction sur les termes, recul-mécanique et tête-bêche, et la géométrie cartésienne vs ma mécanique

Recul-mécanique

Je pensais que la recul-mécanique était une géométrie horaire, mais ce n'est pas cas. C'est seulement l'angle g qui devient horaire, l'ensemble du tableau, lui, demeure un système anti-horaire.

Je peux dire celà après avoir découvert sa vraie algèbre, hier, qui reste tout à fait dans le même sens: seul un élément sur trois, le sinus de g, versus celui de t et la tangente de a (l'asymptote), change de sens, alors qu'une géométrie horaire, que j'appelle anti-mécanique, impliquerait plutôt un changement de sens des trois éléments.

C'est une découverte fondamentale, car elle permet d'algébrétiser exactement la variation des courbes. Je l'expliquerai ailleurs, j'en fait seulement état ici pour corriger ma définition, avant d'aller plus loin, sr des bases plus précises. Le fait que je me sois trompé n'était pas une erreur comme tel, seulement une méconnaissance de sa nature exacte, à ce moment là, Je pensais connaître son algèbre, mais ce n'était pas encore le cas.

Tête-bêche

Le fait d'inverser le rôle des variables, dans le permuté, i.e. que s soit une fonction de V, plutôt que l'inverse, n'en fait pas un tête-bêche, comme je le pensais, car ça peut tout à fait demeurer dans la même mécanique virtuelle du permuté.

Le tête-bêche, par contre, est bien la mécanique de l'asymptote, faite avec l'algèbre originale de t (du tableau ou système en t). Celle-là est une vraie mécanique, à l'encontre du permuté, qui n'est que virtuel, i.e. qui mime la rotation originale mais ne s'y conforme pas en tout point. dû au changement effectué, la permutation des variables.

Le tête-bêche comme tel est vraiment un autre système, que je n'ai pas encore utilisé, mais qui peut être utile à la vraie inversion des formules trigonométriques, par exemple, je pense. L'algèbre restant la même que celle de départ, c'est très compliqué, ou confondant, déroutant, mais ça peut expliquer bien des choses ... et peut-être résoudre des inversions irrésolubles autrement, éventuellement.

Ma mécanique versus la géométrie cartésienne: l'idée de mon dessin

Dans mon dessin, ce que j'ai appelé la mécanique tête-bêche n'est pas non plus la recul-mécanique, comme je l'avais corrigé plus haut, erronément. L'affaire est que je ne savais pas exactement ce qu'était la géométrie cartésienne, dans ma géométrie. J'avais d'abord pensé que c'était le tête-bêche, puis la recul-mécanique.

Mais non. En fait, le rapport des variables, comme y/x dans la géométrie cartésienne, existe bel et bien dans ma géométrie, tout comme le produit des variables, qui est son algèbre propre, celle avec laquelle on peut faire une mécanique, une rotation continue, sans aucun blocage ni saut. Mais je ne l'avais pas encore théorisée comme tel, c'est pour ça que je ne savais pas encore tout à fait comment l'appeler, la confondant avec d'autres théories que je connaissais plus, présumant que ce pourrait être celà.

En fait, la théorisation de la recul-mécanique m'a apporté un éclairage nouveau là-dessus. Le changement de sens du sinus de mon angle (central secondaire) g, qui est le produit des variables, a aussi un équivalent en géométrie cartésienne. Le sens du rapport des variables peut tout autant changer, ce qui est algébrétisé par des nombres négatifs en géométrie classique ou conventionnelle. Dans ma géométrie, cependant, le même principe de la recul-mécanique peut s'appliquer.

En géométrie cartésienne, telle que je peux l'interpréter dans ma géométrie, le rapport des variables est un ordre, la tangente au carré de l'asymptote propre, comparativement au sinus de l'angle central secondaire, g, pour leur produit habituel. Or, dans ce dernier cas, si je change le sens de l'ordre, je modifie un autre élément en même temps, le sinus de g. qui va tourner à l'envers aussi. Ce qui n'est pas un recul-mécanique, c'est une autre affaire.

Or, avec le rapport des variables comme tangente de l'asymptote propre à la géométrie cartésienne, telle qu'interprétée dans ma géométrie, ce seul élément peut être changé de sens, en vertu du même principe que je l'ai fait pour ma recul-mécanique. C'est donc une recul-mécanique aussi, avec un tableau, un système, différent, où les variables sont positionnées différemment.

Avec le séquençage de l'algèbre d'un système, comme celui du sinus, que j'ai fait dernièrement, qui recense toutes les positions possibles des variables dans le tableau, incluant leurs inverses, par nature, j'ai constaté que leur positionnement en tant qu'angles centraux, caractéristique de la géométrie cartésienne dans ma géométrie, n'existe pas du tout. Seul l'un avec l'inverse de l'autre apparaît. Ce qui indique que la géométrie cartésienne, telle qu'interprétée dans ma géométrie, est bel et bien un système, un tableau, à part. 

Mais elle fait partie de ma mécanique, de ma géométrie, c'est seulement une autre algèbre que celle habituelle utilisée. C'est une autre séquence algébrique, celle dont l'ordre peut changer de sens, indépendamment des deux autres éléments, les variables comme tel, qui jouent le rôle de guides trigonométriques dans les angles centraux. Il y a donc 2 séquences algébriques pour deux mêmes variables, et c'est dans ce sens là qu'il faut comprendre mon dessin: ma mécanique, c'est leur produit, alors que c'est leur rapport dans la géométrie cartésienne (telle qu'interprétée dans ma géométrie). 

Dessin modifié, recadré et re-titré, 22 mai 2015

Le passage de l'une à l'autre séquence se fait par une théorie qui leur est extérieure, celle du rang, c'est pourquoi la géométrie cartésienne fait aussi partie de ma géométrie. Mais elles sont bien séparables l'une de l'autre, par la séquence de leur algèbre, propre à chacune.

Dans le dessin, j'ai mis ma géométrie comme étant simple, et le tête-bêche (celle qu'il faut maintenant comprendre comme la géométrie cartésienne) difficile. L'inverse peut aussi être vrai, mais elles sont en fait toutes les deux difficiles. Ce qui est facile, c'est la simplicité des fonctions en géométrie cartésienne classique ou conventionnelle, ce qui n'est plus du tout le cas lorsqu'interprétée dans ma géométrie. Les fonctions deviennent beaucoup plus compliquées, ce qui permet une vraie définition de ce qu'elles sont en réalité, et une analyse très serrée, exclusivement réelle, toujours, de leur comportement.

C'est ça que je voulais montrer, par ce dessin, un peu malhabile, mais qui reste tout de même réel: il y a bel et bien 2 géométries dans ma mécanique, et l'une d'elles est la géométrie cartésienne qui nous est familière, mais intégrée, algébrétisée suivant les principes de la mécanique hyperbolique algébrique. Les deux peuvent aider à résoudre des problèmes compliqués exposés dans la géométrie cartésienne classique ou conventionnelle. En plus de la compléter, la généraliser, et ouvrir de nouveaux horizons à la géométrie réelle, Ce qu'est, ce que fait ma géométrie, la mécanique hyperbolique algébrique.

**** * ****