La Différence est compliquée, mais pas nécessairement complexe
Et on penserait que ce serait la vraie algèbre de la Différence, ainsi modelée sur celle de la Somme, facilement concevable, parce que sa géométrie est assez élémentaire. Par contre, si on devait se partir de la Différence, avec un angle qui peut tout autant décroître qu'augmenter, la problématique serait différente, beaucoup plus complexe. Ne sachant pas trop de quoi il s'agit, on introduirait peut-être des nombres négatifs pour essayer d'en rendre compte, sinus quand il croît, et moins sinus quand il décroît, comme si ce serait un cosinus, en fait.
On voit ainsi comment ont pu être introduits les nombres négatifs. À défaut de savoir comment fonctionne une géométrie compliquée, ou supérieure, parce que quand on soustrait et divise ça n'a plus la même stabilité que quand on additionne et multiplie, il n'y a qu'un pas à penser que ça doit se situer dans le monde négatif, et créer de tels nombres. Et comme ça semble fonctionner, ça devient la norme, mais vite dépassée par l'illogisme de sa radicalisation, nécessitant une autre convention algébrique en découlant, radical moins un, le nombre imaginaire, suite à une symétrisation de la pseudo-arithmétique exponentielle avec une trigonométrie circulaire complexe, dont le sinus est multiplié par radical moins 1, et qui s'appelle i sinus. Et inversement, faire correspondre une tangente complexe à un sinus réel.
En somme, en géométrie complexe, il s'agit de faire correspondre les angles dits hyperboliques, en tant que logarithmes, puissances exponentielles, aux angles comme tel, dans le contexte de l'utilisation des nombres négatifs, ce qui ne peut se faire qu'en étendant ces derniers à la normalisation de leur radicalisation, ce qui se dit nombres imaginaires, désormais, en lieu et place.
Or, donc, puisque la Différence des angles apparaît comme une géométrie beaucoup plus compliquée que celle de leur Somme, elle pourrait peut-être appartenir au domaine complexe, en raisonnant de cette façon, suivant la norme courante d'utiliser cette géométrie. Et ce serait peut-être bon, logique, mais ce serait une autre structure, parce qu.il s'agit de choses différentes. La géométrie complexe n'est pas le pendant de celle réelle, elle ne s'égalise pas, on ne peut pas faire correspondre l'une dans l'autre. L'algèbre complexe fait référence à une structure différente de celle réelle, qu'on voit bien quand on dit qu'il y a ou non des solutions réelles.
Autrement dit, sur certains points de la géométrie complexe, il peut y a voir correspondance avec la géométrie réelle, mais pas sur d'autres. Donc, elles ne parlent pas de la même chose, même si certains points peuvent coïncider. Les structures sont différentes.
Ainsi, même si la Différence des angles était bel et bien résoluble en géométrie complexe, ce ne serait pas la même solution qu'en géométrie réelle. Ce serait une structure différente, un peu comme de la faire correspondre à la géométrie de la Somme. Ça existe, mais ce n'est pas ça, ce n'est pas de ça qu'il s'agit.
Exceptionnalité et profondeur algébrique de la Différence
Tout ça pour dire qu'il ne s'agit pas de géométrie complexe, ici, même si ce dont on parle est très compliqué. C'est de la géométrie supérieure, mais strictement réelle.
En mécanique hyperbolique algébrique, la Différence des angles existe en relation avec la géométrie de leur trigonométrie, qui est en tangente, alors qu'elle était en sinus pour la Somme. Voici le schéma, avec les explications plus bas.
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| La Différence des angles des variables, 2e partie des Quatre algèbres de la mécanique hyperbolique algébrique |
Je dois parler du diagramme combinatoire de tous les systèmes, même si je ne l'ai pas encore publié, pour y référer, mais ce sera assez bref et concis, simple, pour comprendre un peu, j'espère, en attendant.
Le tête-bêche du cartésien de l'apposé en tangente dans le diagramme symétrique des systèmes
Le diagramme des systèmes comporte deux parties, l'euclidienne et la cartésienne. La 1ère est dite du produit des variables, et l'autre du rapport, mais pas de la même variable, plutôt de l'inverse de son cycle. Le cycle s'entend de l'étape décroissante après celle croissante, ou vice-versa.
Le sinus, par exemple, s'accroît, puis devient sécante, et décroît par la suite en cotangente, ce qui est son cycle, sa progression décroissante. Pour la tangente, c'est la cosécante. Dans le diagramme, il s'agit cependant de la trigonométrie de l'angle asymptotique, appelé habituellement a, mais que j'appelle radical Alpha majuscule dans le schéma, dont on prendra le cycle. Soit, donc, radical I et V, respectivement, mais que je garde au carré pour plus de simplicité, parce que ce sont des ordres: la tangente à l'ordre I, et le sinus à l'ordre V.
De plus, il ne s'agit pas de progression comme tel, que j'avais utilisé pour démontrer, mais de cycle seulement: le cycle circulaire ou hyperbolique, dépendant de la trigo utilisée. La partie en sens inverse.
Celà étant dit, on peut mieux comprendre que le sinus à l'ordre V, à l'euclidien, le sera à celui I au cartésien, parce que c'est l'inverse de E, la cosécante au carré de l'asymptote, le cycle de V. Mais pas dans la même position, car il s'agit de rapport et non plus de produit: À E, c'est toujours un produit, mais avec son inverse, I, c'est un rapport, parce que la position est différente.
Ça change de position parce que ce sont 2 systèmes différents, au cartésien: E fois le sinus appartient au système cyclique, de l'autre côté du cycle de l'ordre V. Le sinus et l'ordre demeurent en position identique, soit central et tribiné principaux tous les deux, respectivement.
L'inverse de E, I, lui, est en position central secondaire, pendant que le sinus demeure à la même place. Ce qui fait que le g cartésien, l'angle de l'opération des variables, n'est plus à la même place qu'à l'euclidien, parce que le signe de l'opération multiplicative est changé, pour une même géométrie du produit du tribiné par le central.
Car c'est la particularité de ma géométrie d'être invariante: elle est strictement multiplicative, de sorte qu'un rapport est une multiplication par l'inverse. C'est peut-être le sens donné à la non-commutativité multiplicative, introduite et promulguée par Alain Connes, je ne sais pas, car lui c'est pour une application quantique très compliquée, mais c'est ce à quoi ça me fait penser. Il n'y a pas de division, mais si on en voit, parce qu'il est difficile de s'en passer, algébriquement, elle doit être interprétée comme le produit par un inverse.
C'est ce que signifie géométriquement l'ordre, qui est arithmétique: tant de fois le sinus, ou la tangente, etc.. Si je dis le sinus sur tant de fois, je multiplie par l'inverse. Il y en a un qui doit être inverse, pour que ça demeure un produit. Trigonométriquement, ce n'est pas un problème, car tout guide a son inverse. Sinus sur V signifie sinus par W, son inverse, etc.. Et c'est l'interprétation qu'il faut lui donner, car la géométrie est ue mécanique de la multiplication, strictement, pas de la division.
Ce qui n’exclue pas les fractions, au contraire, mais en tant que multiplicateur, pas comme l'inverse d'un nombre, qu'il faudrait diviser. V est lui-même la généralisation d'une fraction. Le sinus est multiplié par une fraction, par l'inverse d'un nombre, et non divisé par ce nombre. Quand c'est le cas, justement, c'est que les positions de la variable et du résultat de l'opération s'échangent mutuellement, pour que ça demeure une multiplication, géométriquement parlant. Sinon, les géométries de la multiplication et de la division s'interchoqueraient et ce serait comme tautologique, tourner en rond.
Ce doit être l'un ou l'autre, et comme la multiplication est plus facile et naturelle en géométrie, comme ordre arithmétique des guides trigonométriques, c'est celle qui est utilisée, choisie. La non-commutativement n'exclue pas la division, algébriquement indispensable, mais signifie seulement qu'elle est interprétée comme le produit par un inverse.
En position différente, central secondaire, donc, le I divise le sinus, ce qui préserve le produit par ce dernier comme apanage, prérogative, du tribiné: I sur sinus par le sinus égal I. Du tribiné, on multiplie, et du central secondaire on divise. C'est ainsi que la géométrie demeure la même tant au cartésien qu'à l'euclidien, même si on fait une division plutôt qu'une multiplication dans celui-là.
Le système cartésien de la division correspond à celui euclidien de la multiplication, avec le sinus comme invariant, dans la même position. Chacun a un système cyclique réciproque l'un l'autre, à part, dans la même partie, respective, du diagramme.
Dans la géométrie de la Somme, faite précédemment, seul l'euclidien était en cause, car il est simple et je n'avais donc pas d'affaire à aller dans la partie cartésienne du diagramme des systèmes. Pour la Différence, cependant, sa géométrie se passe plutôt du côté cartésien, mais en sinus sur la portée de la tangente, et au tête-bêche, en plus. C'est celà qui demande explication, car on n'est plus dans le monde ordinaire, en géométrie simple.
Mais déjà, comme j'ai expliquer les 2 parties, euclidienne et cartésienne, du diagramme des systèmes, avec l'exemple du sinus, en particulier, on peut mieux comprendre celui en tangente: son ordre est I, le sinus au carré de a (sous-entendu radical Alpha majuscule dans le schéma), son cyclique est W, la cotangente au carré de a, et l'inverse de ce dernier est V, qui va diviser la tangente du côté cartésien. Son radical, sous-entendu.
Revenons à son euclidien, qui est sa géométrie normale, la mécanique de la tangente. Sur sa portée, elle peut aussi se faire en sinus, dans le sens que, s'il se rapporte à son complémentaire, ça fait un sinus, le sinus du même angle: (tan / séc) = sin. Comme la tangente est à l'ordre I, et que son contre-combiné est égal au guide de g, radical I par tangente, sur son complémentaire, la sécante, on voit bien que I (son radical, sous-entendu) multiplie ainsi le sinus, ici binaire, de l'angle, t, que j'appelle tau minuscule dans le schéma. Et comme le contre-combiné se lit en tangente, il ne s'agit que de faire sa mécanique pour le lire en sinus, devenant ainsi central secondaire du système en sinus fait avec le guide tangente, de par son rapport avec son complémentaire.
Ce sinus, tan / (1+ tan²)½, que j'appelle sbin pour sinus binaire dans le schéma, pour faire court, faute de place, va remplacer la tangente dans son propre diagramme, pour en faire un en sinus, en sinus binaire, plus précisément, parce qu'il est fait avec la tangente comme guide.
Alors, de la même façon que la tangente est à l'ordre I, à l'euclidien, et à V, au cartésien, il en sera de même pour le sinus binaire, ce qui est tout à fait l'inverse du système en sinus lui-mème, qui va de V à I, respectivement. Donc, on peut ainsi diviser V par le sinus binaire, ce qu'on ne pouvait pas faire avec celui ordinaire, guide trigonométrique. Il s'agit pourtant du même angle, le sinus du même angle, sauf que le faire binaire signifie qu'il est désormais en algèbre de la tangente, ce qui comprend son ordre, et sa variante propre du côté cartésien.
Ce système binaire est dit "apposé", dans ma terminologie propre, ou nomenclature. Faire l'apposé signifie faire.la mécanique opposée avec le même ordre. Si l'angle central principal, t, demeure le même, en changeant seulement le guide pour le guide binaire, celui secondaire, g, n'est plus le même, et est remplacé par la mécanique du contre-combiné..Alors, c'est ce qu'on a, maintenant, du côté par défaut, euclidien, un système apposé en tangente, fait avec le binaire de l'angle t, ce qui est en fait, donc, un système en sinus, binaire, faut-il préciser.
Du côté cartésien, maintenant, il en résulte que radical V sur le sinus binaire est en position tribinée, qu'il faut permuter avec celle du sinus binaire, sans mécanique, i.e. sans changer l'angle propre de chacun, ce qui s'appelle un tête-bêche, dans ma terminologie, toujours, lequel mécanise seulement l'angle central secondaire, le radical V,, ici, en l'occurrence, mais qui l'était déjà, en tant que sinus, mais qui la perd, redevenant ainsi tangente, sa vraie nature.
C'est ce qu'on voit dans le premier double triangle du schéma, un système en tangente, qui est le tête-bêche du cartésien en sinus binaire. L'angle et l'asymptote, respectivement en position tribiné principal, pas sur le schéma car seulement les angles centraux y sont, et central secondaire, demeurent inchangés et peuvent ainsi être soustraits comme ils ont été additionnés dans le schéma de la Somme. Le rapport trigonométrique radical V sur sinus binaire, les même termes que pour le produit dans le schéma précédent, se trouve, lui, en position central principal.
Le double triangle goniométrique correspondant est donc le véritable système de la Différence des angles. L'autre angle est équivalent à (S -D) / 2, ce qui aurait été la mécanique de (S + D) / 2 si on l'avait copié sur le système de la Somme, une distorsion qui se serait répandue aux trois autres parties du schéma par la suite.
Je savais que ce n'était pas ce qu'il fallait faire, parce que je connaissais l'existence du diagramme combinatoire de tous les systèmes, que j'ai découvert théorisé moi-même. Je savais que le rapport radical V sur le sinus s'y trouvait, quelque part, tout comme le produit, même s'il n'était pas évident dans le diagramme de base, par défaut. Il n'y était pas, en réalité, mais connaissant déjà, aussi, le système apposé, où l'ordre est opposé à celui du guide propre, je savais qu'il devait s'y trouver là, dans un diagramme complémentaire, propre à à cet apposé, ici celui en tangente, en l'occurrence.
Et comme le sinus et la tangente ont des ordres antinomiques dans les deux parties du diagramme de base, ça m'a conduit, en même temps, à la découverte fondamentale, que le diagramme d'un système apposé est l'exact symétrique du diagramme de base du système opposé. Soit, comme avec l'expérimentation que j'en ai fait ici, le diagramme de l'apposé en tangente est l'exact symétrique de celui en sinus. L'angle central est le même, et les ordres euclidien vers cartésien sont exactement en sens contraire l'un de l'autre.
La Différence et son élément peuvent aussi être en sinus
Globalement, on voit que la Somme et la Différence se composent chacun avec leur élément propre, S avec (S + D) / 2 et D avec (S - D) / 2, et que ces derniers se font en tangente, à l'encontre du sinus aux premiers.
Que S soit en sinus et D en tangente dépend du guide utilisé initialement, soit donc pour S. Si je m'étais parti du guide tangente, ce serait le contraire. De même pour les autres couples de guides opposés binairement, sécante avec cosécante, et cotangente avec cosinus. Donc, les angles arithmétiques peuvent être de toutes ces trigonométries, dépendant du guide utilisé en premier.
Donc, D et son élément peuvent aussi être en sinus, avec exactement les mêmes angles, car on parle des trigonométrie de t (tau minuscule au schéma) et de a (radical Alpha majuscule au schéma), quelque soit le guide utilisé. C'est en se partant de la tangente, où S et son élément, eux, seraient en tangente, alors que D avec son élément seraient en sinus binaire. Sur le 2 schéma, il ne s'agit donc que d'échanger les termes, sinus pour tangente, V pour I et sbin (sinus binaire) pour tanbin (tangente binaire), en même temps que la forme des triangles dans les 2 schémas.
Seuls les angles des produit et rapport des variables ne seraient pas pareils, aussi. Quand on ne travaille qu'avec un seul guide, leurs noms généraux suffisent: g pour le produit, et la mécanique du contre-combiné cartésien pour le rapport. Dans le schéma de la Somme, j'ai utilisé g, qui était suffisant, et le nom complet du contre-combiné cartésien dans celui de la Différence, ici. Pour le g, il peut être spécifié circ (circulaire) ou hyp (hyperbolique), pour différencier celui en sinus de l'autre en tangente. Quand à la mécanique du contre-combiné cartésien, il s'agit de changer les termes dans le nom au complet, c pour h (circulaire pour hyperbolique), puis c pour h avant le sous-indice, lequel serait donc en inverse de V plutôt que de I.
Ainsi, on peut préserver la formule classique de la trigo de S et D en sinus, à la seule différence, qui est un acquis, ou atout, avantage, que leurs éléments respectifs ne proviennent pas du même guide trigonométrique en mécanique hyperbolique algébrique, ni de la même partie, euclidienne versus cartésienne, du diagramme des systèmes inhérent. Ce qui veut dire qu'avec n'importe quel système trigonométrique on peut faire l'arithmétique des angles en suivant la même procédure comme modèle, et vice-versa depuis n'importe quelle arithmétique des angles classique.
Ce schéma est un exemple de connexion avec d'autres systèmes
Cette dernière étant très limitée d'avance, c'est en fait une connexion que l'on fait avec elle, pour lui transmettre toutes les possibilités, infinies, sans limite, de la mécanique hyperbolique algébrique. Même toute géométrie exponentielle peut y être incluse, ainsi que toute géométrie goniométrique logarithmique, à partir du modèle des triangles de dessous du schéma. C'est pour ça que j'ai fait ça, pour sortir des limitations considérables de la géométrie classique, et même exponentielle et logarithmique, qui reviennent toujours aux mêmes termes et formules surannés, étude et travail oblige, comme si c'était la seule manière de faire de la géométrie.
J'étais très jeune quand j'ai pensé ça. Je savais qu'il y avait une autre géométrie, car je la voyais dans mon esprit. Mais il n'y avait aucun livre là-dessus, aucune documentation, et personne ne savait de quoi je parlais quand je posais des questions, j'essayais de m'informer. Alors je me suis dit que c'était probablement seulement moi qui voyait cette géométrie, qui la connaissait, et donc que j'étais le seul qui pouvait la théoriser, et la faire connaître, si possible. Mais je devais d'abord l'apprendre, voir comment elle fonctionnait, car je ne le savais pas.
Depuis ce temps, rien n'a vraiment changé. Je vois les savants travailler dans le ciel et dans l'atome avec des moyens mathématiques très limités, dont ils se plaignent souvent qu'ils ne peuvent rien faire avec, pas du tout adaptés à la hauteur de leurs travaux. Toute la géométrie classique actuelle, courante, est basée sur des découvertes faites en un temps où il n'y avait rien de ce qu'on vit aujourd'hui, les moteurs, l'électricité, l'ordinateur, le quantique et l'astronomie à l'ère des fusées et de l'exploration spatiale, la radio et télévision, etc.. On s'en foutait bien des calculs à l'infini et des nombres négatifs et imaginaires, car ils n'y avait rien à faire avec, seulement de la haute-voltige intellectuelle universitaire, réservée aux seuls initiés, comme dans les sociétés secrètes.
C'est ça qui bloque les savants d'aujourd'hui, devoir travailler avec une mathématique imprécise comme le calcul différentiel et la géométrie complexe, élevés au rang de seules méthodes possibles en géométrie supérieure, parce que personne ne sait comment faire autrement, depuis qu'on a mis de côté la géométrie strictement réelle, faute de savoir comment elle fonctionnait vraiment. Faute de recherche dessus, elle ne s'est jamais développée depuis.
Mais c'est la seule qui soit précise à 100%, comme on le voit avec ma géométrie, la mécanique hyperbolique algébrique. Elle peut tout faire avec une précision absolue ce que la calcul différentiel et la géométrie différentiel prétendent être les seuls à maîtriser. Ce schéma de l'équivalence de la géométrie complexe en est un exemple. D'autre part, mes travaux personnels sur la différentielle et la dérivée arrivent présentement à terme avec une algèbre exacte, sans aucun calcul à l'infini.
Ce que je peux faire moi-même est très limité, cependant. C'est selon mes connaissances, les courbes que je connais, l'algèbre et les théories logiques, etc. Et je n'en suis qu'au début de la théorisation, découvrant des structures élémentaires, d'abord, petit à petit, et plus évoluées, à mesure. Mais je sais que les possibilités sont infinies, qu'il n'y a pas de limite à ce qu'on peut faire avec cette géométrie.
L'opposition circulaire - hyperbolique et l'ordre
L'opposition binaire est la réciprocité des ordres, qui sont comme les binaires de chacun, le guide sur le complémentaire. Elle est différente de l'opposition mécanique, qui dépend du mécanisme des angles, et sont les ordres se rapportent. En sinus et tangente, ces deux types d'opposition sont égaux, mais complètement différents pour les autres guides trigonométriques.
L'opposition binaire sert à la réciprocité des ordres, qui permet le passage de la mécanique (ordre mobile) au revers-mécanique (ordre fixe), sans saut ni trou, dans le traçage des courbes. C'est la principale opposition algébrique.
L'opposition mécanique, elle, est relative à la symétrie du guide, de même niveau (la mécanique du sinus est une tangente, et inversement, par esemple), des courbes circulaires et hyperboliques, qui peuvent autant décroître que croître. Comme la décroissance est exceptionnelle, on peut convenir que le vrai combiné est celui croissant, mécanisé au complémentaire, si on veut que tout soit anti-horaire. C'est plus facile à comprendre. Alors, le combiné décroissant demeure en place, parce que c'est lui qui est symétrique, et garde le nom du combiné, même si ce n'est plus le vrai, selon notre convention. Le vrai combiné croissant, lui, demeure rattaché à la structure, mais en regard d'autres systèmes qui en ont besoin. On peut ainsi voir les systèmes reliés naturellement, et les structures qui les unissent. C'est très intéressant.
L'exemple le plus facile est le combiné hyperbolique. Il décroît et ce n'est pas son vrai nom, i.e. qu'il se fait passer pour tel, mais ce n'est pas le véritable, qui est la mécanique de son complémentaire. Mais comme il est symétrique du circulaire en sinus, ça fait plus beau et mnémonique en même temps. Sinon, utiliser le véritable combiné ne serait pas pratique, géométriquement, et n'aurait pas tellement de sens. Ça apparaîtrait mêlé, visuellement, sans véritable cohésion avec celui circulaire, avec lequel il est supposé fonctionner.
Quand l'opposition binaire est différente de celle mécanique, la symétrie des courbes circulaires avec celles hyperboliques dépend de la rotation, i.e. qu'elles peuvent être dans des quadrants différents, mais la problématique est la même. S'il n'y a pas adéquation, le mécanisme complémentaire d'un des combinés peut régler le problème, sans que ça corresponde nécessairement à l'opposition mécanique, qui est plus loin.
Mais la mécanique hyperbolique algébrique est compliquée. Dans la rotation, il y a un moment mécanique, sur lequel repose précisément la symétrie circulaire-hyperbolique, mais au cycle, cette symétrie n'est plus qu'algébrique, et les triangles combinés sont moins comme en phase, complices, balancées ensembles, chacun faisant son affaire de son côté.
C'est pourquoi, dans les oppositions binaires, ça peut apparaître non-symétrique au départ, mais qui peut le devient au cycle, quand ça arrive de pair avec l'opposition mécanique. Autrement dit, l'opposition binaire serait du côté non-symétrique comme tel des courbes circulaires-hyperboliques, mais le deviennent quand elles évoluent vers l'opposition mécanique. Et quand ça arrive, la problématique est la même que pour le in et la tangente au départ, on peut devoir accepter l'inversion mécanique d'un des combinés pour une véritable symétrie des courbes.
Ma géométrie s'appelle comme ça parce qu'il y a, justement, une partie mécanique, dans le sens de symétrique mécaniquement, et une autre algébrique, qui garde la continuité. Ça fait référence au cycle de rotation, un peu comme le yng et le yang, l'est et l'ouest, etc..
Fonctionnement du système en tangente à partir des angles centraux
Toutes les parties du schéma fonctionnent comme le premier, ce sont tous des systèmes en tangentes, indépendamment de la position des variables.
Les combinés, d'abord, qui servent à tracer les courbes, sont faciles à faire, parce que c'est une mécanique: on abat l'hypothénuse de l'un (son complémentaire) par rapport au poteau de l'autre (son guide), ce qui fait sécante de l'un sur tangente de l'autre, qui doivent se lire, donc, naturellement, comme des cotangentes. Le principal est celui avec le guide du central principal, il est dit combiné comme tel, alors que l,autre, le secondaire, est dit contre-combiné. Ils peuvent décroître autant que croître, c'est normal.
Ce sont des combinés hyperboliques, ils se lisent à l'inverse du mécanisme, en tangente, comme les centraux.
Les tribinés, mnémoniquement, c'est l'ordre du système, qui est le guide secondaire au carré sur celui du principal, au carré également, au central, ce qui ferait I, le sinus au carré de a (radical Alpha majuscule sur le schéma) dans le système en tangente par défaut, à l'euclidien. Ce qui n'est pas le cas ici, parce que plus compliqué, mais prenons-le comme modèle, le principe étant le même.
Donc, dans un système normal en tangente, tan et (I½*tan) sont au central, en tant que principal et secondaire, respectivement.. On voit bien que ce dernier sur le premier donne I½, ce qui est le radical de l'ordre, justement, dont l'angle est a (l'asymptote dans le sens d'angle asymptotique). Comme tribiné, il va se lire comme l'opposé de tan, soit en sinus, parce qu'il est destiné à lui être permuté, éventuellement, où ils n'ont qu'à se mécaniser, chacun, ou demeurer tels dans le cas d'un tête-bêche, qui est aussi une permutation mais où seul le secondaire se mécanise.
Même principe pour le tribiné secondaire, dit contra (pour contre-asymptote), qui est fait avec les complémentaires des centraux, dans le même ordre aussi, à partir du secondaire. Quand on fait la mécanique des complémentaires des centraux, la permutation ou le tête-bêche se fait avec le contra.
Les tribinés ne sont pas visibles quand on fait un système, comme pour faire des courbes, par exemple, car seuls les centraux et les combinés sont utiles. Les tribinés sont plutôt algébriques, parce qu'ils servent à identifier l'ordre et celui des complémentaires. On fait leurs triangles théoriquement, ou en arrière-plan, parce qu'ils sont utilisés lors de permutation ou tête-bêche. Ils sont aussi utilisés dans les tableaux de rotation, où c'est l'ordre qui tourne, par défaut. On voit ainsi quand ils arrivent à 45°, puis 90° et passent au 2ième quadrant, comparativement aux autres triangles, comment ils évoluent de leur côté.
Au revers-mécanique, où l'ordre est fixe, la rotation est différente parce que c'est un système différent, mais continu, sans saut ni trou. Il s'agit de la même rotation que le tête-bêche de l'opposé binaire du guide, mais dont on doit changer les variables seulement, les remplacer par celles du système du guide devenu revers-mécanique. Ainsi, ça évite de faire une rotation théorique du système de a, quand il est fixe (revers-mécanique du point de vue mécanique), spécifiquement, pour ne pas que ce soit trop mêlant pour rien.
Alors, même si le système en tangente de la 1ère case du diagramme est plus compliqué, le principe des combinés et tribinés est le même que pour le système en tangente par défaut. Il s'agit seulement de bien identifier le secondaire du principal, ce qui est fait par les couleurs, rouge et bleu, respectivement, dans le schéma.
Pour les tribinés, quand les angles centraux sont compliqués mais croissants, ils doivent croître aussi, comme eux, pour faciliter la permutation éventuelle. Quand ce n'est pas le cas, il faut les lire en mécanique de leur complémentaire, pour qu'il reste du même côté. Par exemple, si le tribiné est décroissant en sinus, depuis le complémentaire c'est un cosinus, mais du côté hyperbolique, alors il faire sa mécanique, hyperbolique dans 2*l (l pour 90°), où il devient cotangente<1, du même côté circulaire que le sinus. L'algèbre du système n'en est pas affectée, car c'est toujours le même sinus, qui se lit en cotangente<1, que l'on met en position du 3e quadrant, en podaire, pour bien indiquer qu'il faut le lire tel.
C'est un détail technique, mais très important, parce que les centraux ne doivent pas décroître, sinon ça ne tourne pas, il y a blocage. Seuls les combinés peuvent décroître sans qu'il y en ait. Donc, quand un des tribinés est permuté au central principal, il doit nécessairement croître. C'est une condition, une règle, pour que ça fonctionne bien, pour le moment.
C'est une conjecture. Je n'ai pas encore trouvé d'exception, il y en a peut-être. Ça fait partie de la théorisation de bien comprendre le phénomène.
Conclusion
La correspondance de la mécanique hyperbolique algébrique avec l'arithmétique des angles est une connexion par les angles des variables. C'est un bel exemple de ce qu'on entend par connexion entre système: il s'agit d'avoir au moins un point de contact, et voir comment ils peuvent fonctionner ensemble, le chemin entre les deux, les structures d'appartenance.
On peut aller plus loin en cherchant comment on peut faire correspondre la pseudo-arithmétique, aussi, semblable à la formule de S et D en sin et cosinus, mais qui se fait en tangente et sécante, sans que ce soit une arithmétique des angles comme tel, cependant. Alors, là la connexion ne pourrait pas se faire par les angles des variables, mais d'une autre manière, chercher un point de connexion de remplacement, qui pourrait faire.
Plus on connaît de systèmes et de structures qui les relient, en mécanique hyperbolique algébrique, plus il est facile de trouver des points de connexion avec des systèmes connus de la géométrie classique ou courante, même très avancée, supérieure. L'avantage est que ces derniers étant souvent stagnants et indépendants entre eux, ou agencés suivant des critères différents, il est possible de les faire évoluer et connecter par la mécanique hyperbole algébrique, en suivant des chemins parallèles, ou proportionnels, synchrones, apparentés, etc..
Et à chaque fois, on peut faire des découvertes, trouver des choses qu'on ne savait pas. Pour moi, ici, par exemple, j'ai découvert que le diagramme de l'apposé de l'opposé binaire est le symétrique du diagramme des systèmes par défaut, pour tout guide. C'est très important, car ça facilite beaucoup le travail, la recherche de connexions, de structures, etc., par la suite.
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