Mais j'ai toujours cru que ces choses étaient calculables dans le réel, dans le sens de trouver le chemin pour y parvenir, ou, à défaut, leur donner au moins une algèbre exacte, non ésotérique. Ce qui incluait donc, en général, de faire une algèbre des trois autres géométries avec mes propres codes, termes, même si ça pouvait paraître non coutumier, ou familier, comme dans le cas de l'arithmétique des angles, ou démesuré, comme dans l'équivalent des circulaire et hyperbolique complexes, où les angles ne correspondent pas tout à fait avec le sinus correspondant, qui ne couvre en principe qu'un seul quadrant.
Ce sont des questions théoriques que je pourrais résoudre après, que je me disais, et ça a donné un schéma de l'ensemble de ces quatre géométries, avec ma propre algèbre réelle, codes ou dénominations, que voici:
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| Les quatre algèbres de la mécanique hyperbolique algébrique |
La géométrie est trigonométrique, même avec des variables goniométriques
Quelle que soit la géométrie utilisée, cependant, elle se fait toujours suivant les principes de la première, car la géométrie est en soi exclusivement trigonométrique. Les angles, eux, ne servent que de mesure en regard des guides trigonométriques utilisés. La mesure de la portion du quadrant en cause qui correspond à tel sinus, cosinus ou tangente utilisé.
L'exemple de l'arithmétique des angles est patent: même si on utilise S et D (Somme et Différence) comme codes goniométriques, ce n'est toujours qu'avec leur sinus et cosinus respectifs que la géométrie est faite. De même en pseudo-arithmétique, avec les tangente et sécante de ps-do S et ps-do D respectifs.
En virant cette dernière en géométrie hyperbolique complexe, la pratique demeure la même, de faire de la géométrie avec la trigonométrie, ce qui s'étend donc aussi à celle circulaire, dont on a pensé qu'elle découlait logiquement ou symétriquement de S et D, mais ce n'était pas le cas, d'où un rajout de codes ésotériques seulement accessibles aux initiés de très haut niveau, comme disait Hermann Weyl.
C'est de la première géométrie dont elle vient en fait, celle trigonométrique ou cartésienne, comme je l'ai montré avec une flèche de la 1ère case du haut vers celle du bas. La symétrie, elle vient de là, et non de l'arithmétique des angles, qui comprend, et non exclu, la pseudo-arithmétique. C'est pourquoi ma flèche de l'arithmétique des angles, en 2e case du haut, descend vers la géométrie exponentielle, l'équivalent de celle hyperbolique complexe.
Ce n'est donc pas une erreur ou confusion de ma part: la pseudo-arithmétique est tout autant une arithmétique des angles, qui inclue tous les guides trigonométriques, cotangente et cosécante y compris, que j'appelle la pseuré-arithmétique. Seule l'opération change, indéfinie, seulement algébrique ou code ésotérique, mais qui revient à une arithmétique avancée, en fait, de structure différente, impliquant des angles différents que ceux indiqués.
Des variables goniométriques ne doivent pas porter à confusion: ce n'est pas une géométrie goniométrique comme tel, même si elle en porte le nom, pour distinguer d'une autre avec des variables trigonométriques. La manière de faire de la géométrie, c'est seulement avec la trigonométrie. Quand on a des variables goniométriques, il s'agit seulement de suivre leur trigonométrie.
Comment fonctionne ma géométrie, dans ce contexte?
Les 4 systèmes du schéma sont en sinus, donc ils fonctionnent exactement comme le premier, qui est le défaut. Ce que l'on voit, ce sont les angles centraux.
C'est à partir d'eux que l'on trace les combinés, qui sont le sinus de l'un sur le cosinus de l'autre. Avec le sinus du principal (en bleu), c'est le combiné comme tel, tandis qu'avec le sinus du secondaire (en rouge), c'est le contre -combiné. Ils se lisent en sinus, à partir du sinus de chacun. Quand le rapport de grandeur ou le sens de l'angle ne s'y prête pas, on utilise sa continuité en sécante ou en cotangente.
Les tribinés, eux, leurs triangles ne sont pas visibles, mais on voit leur variable respective dans l'algèbre des autres qui le sont, un à la fois, suivant qu'on travaille en géométrie du guide ou de son complémentaire. Ce sont le rapport de 2 côtés de même nature, en commençant par le secondaire: le rapport des sinus donne le radical de l'ordre, que l'on lit à l'opposé du sinus, soit comme tangente, ou en sa continuité cosécante-cosinus dépendant du rapport de grandeur ou du sens de l'angle; le rapport des cosinus, lui, se lit aussi à son propre opposé, soit en cotangente, ou en sa continuité sinus-sécante si le rapport de grandeur ou le sens de l'angle ne s'y prête pas, aussi, de la même manière. Ce dernier est le radical de l'ordre des complémentaires, quand on travaille avec eux, qui est plus difficile mais moins fréquent.
Cet ensemble de centraux, combinés et tribinés forme un système, que l'on peut relier avec d'autres, quand on trouve un point de connexion. Par exemple, tous les systèmes qui ont le même ordre, ou qui sont en sinus, qui tracent la même courbe, etc.. Il y a ainsi une multitude de connexions possibles, c'est infini.
Logs et exponentielles: conversion nominale des géométries circulaire et hyperbolique complexes
La géométrie hyperbolique complexe est une trigonométrie exponentielle et celle circulaire une goniométrie logarithmique. La base utilisée était un problème, car elle est aléatoire dans ces géométries, sans dire d'où elle provient, ou sur quoi on se base pour la choisir - comme si c'était un choix, n'importe laquelle!
Non, ça n'avait pas de sens pour moi, elle devait être algébrique, dédiée, d'appartenance quelque part, et j'ai remarqué que je pouvais la prendre dans le triangle d'où les variables proviennent, en trigo quand ils sont gonios, et vice-versa, car elles se multiplient et s'additionnent. En mécanique (1ère case du haut), le central principal est toujours fixe, donc en prenant l'angle du sinus comme base de la géométrie goniométrique logarithmique du dessous, j'obtiens tout autant un principal fixe aussi. Même principe, symétriquement, pour la base exponentielle sous le système de l'arithmétique des angles, à droite.
La correspondance est étonnante, et il ne peut y avoir de meilleure solution.
Au début, je m'interrogeais beaucoup sur la pertinence d'une géométrie goniométrique logarithmique, car, me disais-je, c'est bien plus simple avec S et D, pourquoi faire compliqué pour rien! Mais je ne savais pas que c'était en fait la géométrie correspondante à la si mystérieuse et ésotérique géométrie circulaire complexe avec laquelle j'avais tant de difficultés. C'est en remarquant le produit dans le sinus de g (mécanique euclidienne par défaut) et le rapport dans celui de la mécanique cartésienne, que j'ai fait le lien.
Et puis donc, de là, le lien avec l'arithmétique des angles et la géométrie trigonométrique exponentielle, d'autre part.
Le cas de la géométrie polaire
Le rayon fonction de l'angle, en géométrie polaire, l'apparente à une géométrie goniométrique, mais la fonction réciproque, cependant, la met du côté trigonométrique, ce qui est ambivalent. Dans un sens, elle est goniométrique, mais trigonométrique dans l'autre.
Mais transformer une variable en l'autre ne la fait pas disparaître, car elle peut égaler 1 en trigo et 0 en gonio, pendant que l'autre tourne. La nature de la géométrie en cause ne change pas. Mais comme le polaire peut être vu dans un sens ou dans l'autre, de par la réversibilité goniométrico-trigoniométrique de sa fonction, il doit y en avoir une autre dont l'angle est fonction du rayon, et celle-là est trigonométrique. Il suffit de lui donner un nom apparenté, comme anti-polaire, par exemple, pour ne pas les mélanger, bien les distinguer, savoir de quoi l'on parle.
Distinction entre les géométries circulaire et hyperbolique classiques versus complexes
On sait que la géométrie dite hyperbolique sous-entend complexe dans la documentation, parce qu'elle découle de la pseudo-arithmétique et qu'elle en prend les variables dans une base exponentielle, le nombre e en l'occurrence. Celle circulaire aussi, par une sorte de symétrie de convenance, plutôt que réelle.
Cependant, les géométries circulaire et hyperbolique classiques sont toutes autres. Il y bien une correspondance entre le cercle et l'hyperbole, mais pas pour insinuer qu'elles sont logarithmiques et exponentielles en soi, comme le fait la géométrie complexe.
Non. Il s'agit simplement du départage des guides trigonométriques entre hyperboliques et circulaires. Le sinus est circulaire, parce qu'il trace le cercle, et la tangente est hyperbolique, parce qu'elle trace l'hyperbole équilatère - la mécanique du sinus de son angle, tangente / sécante, plus précisément. C'est la première géométrie dans le sens historique, parce qu'elle vient des Anciens, comme Euclide.
Il y a un symétrique ellipse avec la droite verticale, où la tangente trace cette dernière et le sinus l'ellipse équilatère - la mécanique de la tangente de son angle, sinus / cosinus, plus précisément aussi, pour employer le même langage. Mais il est moins connu ou familier, à part la directrice dans la théorie générale des coniques , donc moins mnémonique aussi, de sorte qu'il est sous-entendu quand on parle du cercle et de l'hyperbole. L'un comprend l'autre, comme la mécanique hyperbolique comprend aussi celle de l'ellipse, sans le dire explicitement, dans la dénomination de ma géométrie ('mécanique hyperbolique algébrique'), notamment.
Dans celle-ci, donc, par extension, j'appelle le sinus, sécante et cotangente des guides trigonométriques circulaires, parce qu'ils se suivent en continu, sans trou ou interruption. ni saut quelconque, jusqu'au 3e quadrant. De l'autre côté, la tangente, cosécante et cosinus sont, eux, dits hyperboliques, de par le même principe de continuité, sur 3 quadrants aussi.
Ainsi, une courbe en sinus est dite circulaire, pendant qu'une autre en tangente l'est comme hyperbolique, dans ma géométrie. C'est dans l'esprit classique, et non complexe, de l'interprétation de ces deux qualificatifs.
C'est pourquoi celles complexes n'entrent pas dans mon vocabulaire, et je préfère les nommer de par leur véritable rôle, qui est de faire des géométries goniométriques logarithmiques et trigonométriques exponentielles. D'où le nom que je leur ai donné dans mon schéma, avec une note pour la correspondance avec les géométries complexes apparentées.
Ajustement de la démesure entre l'angle et son sinus dans les géométries logarithmique et exponentielle
La démesure entre l'angle et son sinus dans les systèmes logarithmique et exponentiel peut faire penser aux géométries non-euclidiennes, sphérique et pseudo-sphérique, car la somme des angles complémentaires devient plus grande ou plus petite que 90°, et il y a peut-être une relation, mais en 2 dimensions, dans ma géométrie, ça signifie, pas simplement car c'est quand même assez compliqué, que l'angle est seulement synchrone avec son sinus à une certaine hauteur, par exemple après, ou même avant, un certain nombre de tours.
En effet, le sinus revient au 4e quadrant, après avoir passé par une identité sécante et cotangente, puis au 7e, et ainsi de suite jusqu'à revenir à la même position du 1er, au 3e tour de l'angle, ce qui est, pour lui, un re-départ au 13e quadrant.
Alors, si, par exemple, l'angle, qui est en fraction dans ma géométrie, augmente à partir de 30 pour un pauvre petit sinus au 1er quadrant, ça veut dire que celui-là a accompli 10 fois 3 tours du cercle, et que le sinus qu'on voit est en réalité, non pas au 1er quadrant mais au 121ème, 10 fois 12 quadrants + 1, d’où il correspond à l'angle qui augmente à partir du 120ème.
Pour les angles décroissants, il faut comprendre que, tout comme un guide trigonométrique, un angle va à l'infini et redescend. La tangente, par exemple, elle va à l'infini puis redescend en cosécante au 2e quadrant et en cosinus au 3e. C'est le même principe, sauf qu'on n'a pas l'habitude de donner des noms de sections différentes aux angles comme les guides trigonométriques en ont pour chaque quadrant qu'ils parcourent.
Donc, en redescendant, l'angle suit le même chemin que lorsqu'il a monté, car on le mesure d'en bas et non d'en haut, ce qui est infini et incalculable. Le sinus, quant à lui, demeure à une même position comparable, de sorte qu'il correspond au même angle, que celui-ci descende ou non.
Pour calculer adéquatement, il faut comprendre que le sinus va décroître si son angle correspondant décroît, ce qui est contraire à l'idée qu'on en a, parce qu'il nous est enseigné dans le sens croissant, anti-horaire. Mais ce n'est qu'un code, ou un nom qu'on lui donne, qui peut aussi jouer le rôle d'un cosinus quand l'angle décroît.
C'est le principe de base du calcul de la correspondance du sinus avec l'angle, quand il y a démesure. Ce n'est pas du tout tridimensionnel non-euclidien, ni complexe ou relatif en deux dimensions. Tout est calculable exactement en réel, avec seulement des nombres positifs. Tout comme l'algèbre, qui est positive, alors les nombres aussi le sont.
On peut sophistiquer ce calcul dans la mesure de nos connaissances, expérience de la géométrie. Ce que j'en dit, c'est seulement que c'est faisable, pas impossible.
Ainsi, mon schéma n'est pas caduc aux systèmes logarithmiques et exponentiels. Ce sont bel et bien de vraies géométries strictement réelles, tout comme celles du haut. Seulement un peu plus compliquées, mais capables de résoudre des problèmes différents, faire des courbes plus élaborées, exotiques, et dévoiler des structures inimaginables autrement.
Le rapport des variables (mécanique cartésienne): pas dans ce schéma-ci
Les mécaniques euclidienne et cartésienne, respectivement pour le produit et le rapport des variables, étant complètement différentes, indépendantes l'une de l'autre, comme l'indique clairement le diagramme combinatoire de tous les systèmes (non encore publié), changer le produit pour le rapport, tel quel ou commuté, dans le premier dessin, n'aurait pas de correspondance exacte dans les 3 autres, parce que l'une des variables serait en fait inversée.
Ça prendrait donc un autre schéma, dit cartésien, pour en rendre compte exactement. Donc, il ne faut pas changer le produit par le rapport dans ce schéma-ci, car il n'est exclusivement valable que pour la mécanique euclidienne, qui est celle par défaut, la plus facile aussi.
Parce qu'elle correspond exactement à la nature trigonométrique de la géométrie, qui signifie produit des variables, dans le sens de tant de fois le sinus (ou tout autre guide trigonométrique), qui est la raison de la progression arithmétique. Or, donc, faire le rapport des variables, c'est multiplier, en fait, l'un par l'inverse de l'autre. Le principe est donc le même, la multiplication, mais l'algèbre est différente dans les deux géométries, euclidienne et cartésienne, de sorte qu'elles ne se mélangent pas, ne peuvent pas être confondues.
C'est pourquoi le produit ne peut pas être changé pour le rapport, dans ce schéma-ci. Algébriquement, ça ne fonctionnerait pas. Ça prend un schéma à part, spécifique à la mécanique cartésienne.
Conclusion
La mécanique hyperbolique algébrique peut rendre compte exactement de la géométrie complexe en géométrie strictement réelle. C'est ce que montre ce schéma, derrière lequel peut faire correspondre n'importe quelle structure complexe.
Déjà, je pouvais interpréter et transcrire n'importe quelle courbe de la géométrie cartésienne relative, i.e. en coordonnée positives et négatives, ce qui inclu aussi les résultats de la géométrie complexe, mais il ne me manquait que la correspondance géométrique de cette dernière. Le plan complexe, autrement dit, à quoi correspondait-il, en géométrie strictement réelle.
Je pouvais déjà comprendre le passage de la pseudo-arithmétique vers la trigonométrie exponentielle, qui est basée sur la géométrie de l'hyperbole. C'était la partie circulaire qui me manquait, ou elliptique, relative à l'ellipse. Ce n'est pas expliqué nulle part, parce que ce n'est pas connu, ou compris.
En effet, si le passage de la pseudo-arithmétique à la géométrie exponentielle est bien expliquée dans la documentation, pourquoi n'en est-il pas autant du chemin inverse de celle logarithmique, qui lui est symétrique? Si l'indice (l'exposant) de l'exponentielle réfère à un angle, comme découlant de la pseudo-arithmétique, par exemple, alors celui du logarithme, l'antilog, devrait, lui, le faire pour un guide trigonométrique, comme découlant d'une trigonométrie propre, par exemple réciproque.
Or, quelle est cette trigonométrie propre? Ce doit être un produit, ou un rapport, de guides trigonométriques, comme des angles s'additionnent et se soustraient en exposant de l'exponentiel, comparativement. Dans la documentation, il existe bien de tels produits (ou rapports) trigonométriques, mais seulement reliés à des fonctions ou structures quelconques en 2 et 3 dimensions, sans identité générale qui les unisse, unifie, comme c'est le cas de l'arithmétique des angles pour la somme et différence, symétriquement.
C'est alors que je me suis dit,
- mais cette trigonométrie unifiée du produit et du rapport, c'est la mienne!
C'est la mécanique hyperbolique algébrique, que j'ai découvert, étudié et théorisé seul. Elle n'existe pas dans la documentation, seulement des bribes ici et là, relatives à d'autres choses, des cas particuliers quelconques. Ce serait pourquoi, je pense, le lien n'est pas fait entre la goniométrie logarithmique et la trigonométrie, comme il l'est effectivement et clairement entre la trigonométrie exponentielle et l'arithmétique des angles, via le cas particulier de la pseudo-arithmétique.
C'est ainsi, donc, que je peux établir clairement cette relation, parce que c'est avec ma propre géométrie, la mécanique hyperbolique algébrique, qu'elle se fait. Une géométrie complète, structurée, fonctionnelle, la vraie géométrie strictement réelle, en fait. Car elle peut rendre compte de la géométrie complexe, comme l'illustre bien mon schéma, avec laquelle se fait toute la géométrie supérieure.
Ma géométrie peut être pratiquée par quiconque qui suit un peu les éléments théoriques que je donne sur ce blog, de temps à autre, en accompagnement des dessins et schémas que je publie. Elle n'est pas difficile comme tel, il y a des angles centraux, avec le rapport simple et combiné de leurs guides trigonométriques et complémentaires, formant un système, qui tourne sur trois quadrants. C'est tout. Le reste, c'est comme dans toute, géométrie, utiliser des rangs, analyser la rotation, faire des courbes, etc.. Tout ce qu'on connaît déjà peut être mis à profit, comme la géométrie différentielle, l'arithmétique des angles, les radians, vecteurs, calcul matriciel, géométrie polaire, calcul à l'infini, etc..
Il faut juste faire attention de ne pas tomber dans le négatif: à zéro, ça remonte, comme ça redescend rendu à l'infini, en respectant la continuité trigonométrique. Dans une soustraction ou addition, à égalité des termes, il faut les permuter, toujours garder le plus grand en avant, en premier. C'est ainsi qu'on peut faire de la géométrie strictement positive.
Ce n'est pas impossible, seulement un peu plus compliqué: la continuité trigonométrique est sans défaut, faite pour fonctionner ainsi. Si on pense que ça ne fonctionne pas, c'est parce qu'on a fait une erreur, et il faut recommencer nos calculs, souvent plusieurs fois, mais avec l'expérience, on apprend à le faire correctement. Même les cas les plus difficiles, comme le calcul différentiel, fonctionnent bien, même si ça paraît impossible, et que dans la documentation on utilise les nombres imaginaires pour les résoudre. C'est justement là que le fil se perd, en apprenant qu'un triangle dont tous les côtés tendent vers 0 ne peut être résolu par des nombres strictement positifs. C'est que, ces nombres, ce sont des guides trigonométriques qui se suivent en continuité, changent de nom en remontant de 0 ou en redescendant de l'infini, tout en changeant ou non de quadrant. Il s'agit de les suivre, et on peut tout à fait demeurer en géométrie strictement positive. Les nombres négatifs ou imaginaires, c'est de la facilité algébrique, on n'en a pas besoin. On veut garder la continuité géométrique de nos courbes, et ce n'est qu'en respectant la continuité trigonométrique strictement positive qu'on peut le faire.
En relatif ou complexe, on perd cette continuité, et ce n'est plus qu'algébrique, sans repère géométrique réel positif pour nous guider. La trigonométrie perd son nom, et ne peut plus être utilisée comme tel. Et quand on reconverti ces données en positif réel, il y a des bouts qui se perdent. ne se raccordent plus ou sont à la mauvaise place, sens dessus dessous. C'est différent.
C'est bien, quand on l'apprend comme ça et que c'est utile pour le travail, les recherches, son gagne-pain. Toute la géométrie supérieure s'est développée à partir de là, c'est donc très utile, mais ça a rejeté la géométrie strictement réelle dans l'oubli, comme si elle était caduque, désuète, dépassée, périmée, incapable de rendre compte des calculs à l'infini requis par la géométrie différentielle et intégrale. Historiquement, c'est ce qui s'est passé.
Dans ma géométrie, cependant, ce n'est pas le cas. C'est un système, qui peut aussi rendre compte d'un triangle réduit à zéro ou l'infini dans tous ses côtés, disparaître dans l'infiniment petit ou grand, et réapparaître à l'autre bout ou au même endroit sans perte aucune tout en gardant sa continuité trigonométrique strictement réelle, donc celle de sa courbe aussi. C'est sa particularité, la continuité. Une géométrie sans faille, capable de tous les exploits. Il s'agit de bien calculer, et ça fonctionne bien.
C'est donc qu'on peut mettre aussi à profit ses connaissances en géométrie relative et complexe, en mécanique hyperbolique algébrique. Parce que ce sont des structures connues, qu'on peut analyser d'une autre manière, comparer, voir comment on peut l'utiliser. Ça peut permettre de faire des connections, c'est ça le but de ma géométrie, justement, la connexion entre systèmes, l'interconnexion. Des fonctions très compliquées peuvent ainsi être ramenées à une expression plus simple, un système plus élémentaire, moins élaboré.
Tout ce qu'on connaît déjà en géométrie, statistique, mathématique, algèbre, quelque soit leur complexité, peut être mis à profit dans ma géométrie. C'est un système, et il peut tout intégrer, interpréter, utiliser. Une géométrie ouverte, à l'épreuve de toutes les complexités.
Ce qui est intéressant, donc, c'est de faire des structures, qui peut conduire à des formules inédites, inconnues, des algorithmes efficients - tout ça en réel strict, sans nombre négatif. On remarquera que c'est différent, plus complet et exact, ce qui est très avantageux. On gagne à utiliser la mécanique hyperbolique algébrique, découvrir et faire voir des choses qui n'existent pas en cartésien relatif et géométrie complexe.
C'est le contraire de ce qui est prétendu, que ces derniers sont plus complets que le réel positif, je sais. Mais il s'agit de structures numériques, pas de géométrie. Avoir plus de nombres ne signifie pas plus d'exactitude, car tous ces nombres excédents doivent être ramenés aux seuls positifs, finalement, ce qui est donc strictement une algèbre, pas une géométrie.
Les nombres négatifs et imaginaires ont un rôle algébrique, dans la compréhension de structures géométriques réelles. Le chemin est algébrique, alors qu'en géométrie strictement réelle, positive, il est algébrique aussi, mais géométrique en même temps. Il y a donc une partie géométrique qui est perdue quand on utilise des nombres négatifs et imaginaires, mais qui peut être recouvrée avec la mécanique hyperbolique algébrique. Pas tout le temps, car c'est très compliqué, mais c'est possible, en principe, car ses systèmes sont connectables entre eux, dans la mesure où on trouve des points de contact. Et plus on connaît de structures, plus il est aisé d'en trouver.
Mais tout ça, c'est très loin et compliqué. On peut utiliser la mécanique hyperbolique algébrique de façon élémentaire, c'est déjà très intéressant. Et y aller pas à pas, à mesure qu'on en apprend.
Pour moi, ce schéma de la correspondance à la géométrie complexe est une découverte théorique très importante.
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Je n'ai pas planifié d'avance ce schéma et cet article qui en résulte. Je travaillais sur la quadratrice, et il m'est apparu un matin, après des années d'études et de recherches sur la question. Alors, j'ai compris que c'était très important, et j'ai ms mes travaux sur la quadratrice de côté pour le faire.
Il me sera très utile à l'avenir, et j'espère pour mes lecteurs aussi.
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